Análisis de las figuras geométricas

Las figuras geométricas pueden ser dibujadas siguiendo los procedimientos gráficos adecuados, y con la ayuda de instrumentos de medición (la regla, la escuadra y el transportador) y de trazado como el compás.

En este blog se explica como realizar el trazado de algunas figuras geométricas como: polígonos, triángulos, cuadrados, rectángulos y rombos, utilizando los instrumentos ya descritos a partir de datos conocidos como lo son la medida de los lados, ángulos internos, diagonales, etc. según sea la figura a trazar. Se explican paso a paso de manera sencilla y mostrando las imágenes correspondientes a cada paso, haciendo más fácil su realización por parte de los estudiantes.

Las medidas utilizadas pueden ser modificadas a conveniencia del estudiante, pero se debe tomar en cuenta que, dependiendo de la figura a trazar, cada una tiene unas propiedades particulares que deben cumplirse para obtener la gráfica deseada.

Por último, es importante señalar que puede haber más de un procedimiento para graficar una figura geométrica a partir de ciertos datos conocidos, pero en este blog se intenta explicar los procesos que se consideran son los más sencillos y que requieren un menor número de pasos necesarios para el trazado. Pero se recomienda que el estudiante siga los procesos descritos aquí antes de experimentar otro procedimiento distinto.

Trazado de Rombo a partir de las medidas de un lado y de una diagonal

Para trazar un rombo conociendo la medida de una de sus diagonales se debe tener en cuenta que las diagonales se cortan perpendicularmente en su punto medio.

Ejemplo

Trazar el rombo ABCD cuya diagonal AC mide 8cm y su lado AB mide 5cm.

Procedimiento

1) Se traza la diagonal AC, cuya medida es 8cm.

2) Se ubica el punto medio del segmento AC y se traza por ese punto una recta perpendicular, la cual contiene a la otra diagonal, de medida desconocida.

3) Haciendo centro en A, y con una abertura igual a AB, se trazan dos arcos que corten la perpendicular trazada para obtener los puntos B y D.

4) Como un rombo tiene sus cuatro lados de igual medida, entonces, se unen los cuatro puntos y se obtiene el rombo ABCD.

Trazado de Rombos a partir de la longitud de un lado y un ángulo adyacente

Para trazar un rombo conociendo la medida de un lado y un ángulo adyacente a él, es necesario tomar en cuenta que todos sus lados tienen igual medida.

Ejemplo

Trazar el rombo ABCD de lado AB = 5cm y med(<BAD) = 40º.

Procedimiento

1) Con una regla se traza el segmento AB de 5cm correspondiente al lado del rombo.

2) Tomando como centro el punto A, se traza un ángulo de  40º.

3) Haciendo centro en A con un compás, se traza un arco que pase por el punto B y corte la semirrecta trazada en el paso anterior. El punto de corte lo llamamos D.

4) Haciendo centro en D y luego en B con la abertura anterior del compás, se trazan dos arcos que corten. La intersección de los arcos es el punto C.

5) Finalmente, se trazan los segmentos DC y BC para obtener el rombo ABCD.

Trazado de Rectángulos a partir del perímetro y la longitud de uno de los lados

Para trazar un rectángulo conociendo su perímetro, se toma en cuenta que sus lados opuestos tienen igual medida.

Ejemplo

Trazar el rectángulo ABCD sabiendo que su perímetro es 24 cm y que AB = 6cm

Procedimiento

1) Como el perímetro es la suma de las medidas de los lados, se plantea una ecuación. Dado que los lados opuestos de un rectángulo tienen igual medida, se tiene que AB = CD y AD = BC

P = AB + BC + CD + DA

24 cm = 6 cm + BC + 6cm + DA

2) Se resuelve la ecuación

24 cm - 12 cm = 2BC

12 cm ÷ 2 = BC
6 cm = BC -> AD = 6 cm

3) Con una regla, se traza el segmento mayor. En este caso es el segmento AB de 6cm.

4) En cada extremo del segmento AB, se traza un segmento perpendicular de 3 cm usando una escuadra. A los extremos de esos segmentos se les llama C y D.

5) Para obtener el rectángulo, se unen los puntos C y D. Este segmento también debe medir 6 cm.

Trazado de Rectángulos a partir de una diagonal y el ángulo comprendido entre las dos diagonales

Para trazar un rectángulo conociendo la medida de una de sus diagonales y el ángulo que esta forma con la otra diagonal, se toma en cuenta que la diagonales son de igual longitud y se cortan en su punto medio.

Ejemplo

Trazar el rectángulo ABCD cuya diagonal AC mide 6cm y forma un ángulo de 30º con la otra diagonal.

Procedimiento

1) Se traza la diagonal AC, cuya medida es 6cm.

2) Se mide el ángulo de 30º tomando como centro el punto medio de AC. Con esta inclinación se traza la otra diagonal de la misma medida que la anterior, de modo que coincidan sus puntos medios.

3) Se unen los extremos de las diagonales.

Trazado de Rectángulos a partir de la longitud de dos lados consecutivos

Para trazar un rectángulo conociendo la medida de dos de sus lados consecutivos, se toma en cuenta que los lados opuestos son congruentes y todos sus ángulos son rectos.

Ejemplo

Trazar el rectángulo ABCD sabiendo que AB = 6 cm y BC = 3 cm

Procedimiento

1) Con una regla se traza el segmento mayor. En este caso es el segmento AB, de 6 cm.

2) En cada extremo del segmento AB se traza con una escuadra un segmento perpendicular de 3 cm. A los extremos de los segmentos trazados se les llama C y D.

3) Para obtener el rectángulo se unen los puntos C y D. Este segmento también debe medir 6 cm.

Trazado de Cuadrados a partir de se perímetro

Para trazar un cuadrado conociendo su perímetro, se toma en cuenta que todos sus lados tienen igual medida. De esta manera, el perímetro es cuatro veces la medida del lado o, lo que es lo mismo, la medida de cada lado de un cuadrado es la cuarta parte de su perímetro.

Ejemplo

 Trazar el cuadrado ABCD sabiendo que su perímetro es 20 cm.

Procedimiento

1) Se divide el perímetro del cuadrado entre 4. El resultado obtenido es la medida de cada lado del cuadrado.

20 cm ÷ 4 = 2 cm

2) Con una regla se traza un segmento de 5 cm y se denotan sus extremos como A y B.

3) En cada lado, se traza un segmento perpendicular de 5 cm usando el ángulo recto de una escuadra. Se llama C y D a los extremos de los segmentos trazados.

4) Se unen los puntos C y D para obtener el último lado del cuadrado. Este segmento también debe medir 5 cm.

Trazado de Cuadrados a partir de la longitud de una diagonal

Para trazar un cuadrado conociendo la medida de una de sus diagonales, se aplica la propiedad de sus diagonales: son perpendiculares y se cortan en su punto medio. Además, en todo cuadrado se cumple que sus diagonales tienen igual medida.

Ejemplo

Trazar el cuadrado ABCD cuya diagonal AC mide 6 cm.

Procedimiento

1) Se traza un segmento de 6 cm y se nombran sus extremos A y C.

2) Se ubica el punto medio del segmento. Se traza otro segmento perpendicular de igual medida cuyos extremos son B y D. El punto medio de BD debe coincidir con el punto medio de AC.

3) Se unen los extremos de las diagonales trazadas.

Trazado de Cuadrados a partir de la longitud de un lado

Para trazar un cuadrado conociendo la medida de un lado, se toman,  en cuenta dos características fundamentales del cuadrilátero; las medidas de sus cuatro lados son iguales y todos sus ángulos son rectos.

 Ejemplo

Trazar el cuadrado ABCD de 5 cm de lado.

Procedimiento

1) Con una regla se traza un segmento de 5 cm y se nombran los extremos como los puntos A y B.

2) En cada lado, se traza un segmento perpendicular de 5 cm usando el ángulo recto de la escuadra. A los extremos de esos segmentos se les llama C y D.

3) Se unen los puntos C y D para obtener el último lado del cuadrado. Este segmento también debe medir 5 cm.

Trazado de Triángulos a partir de las medidas de dos ángulos y del lado común.

Para trazar un triángulo conociendo la medida de dos ángulos y del lado comprendido entre ellos, se traza el segmento con una regla y se trazan en sus extremos los ángulos con un transportador, uno en cada extremo.

Ejemplo

Construir el triángulo MNO sabiendo que med(<M) = 110˚, med(<N) = 30˚ y MN = 5cm.

Procedimiento

1) Se traza el lado del triángulo dado. En este caso, el segmento MN = 5cm.

2) Sobre uno de los extremos del segmento se marca uno de los ángulos dados. Aquí se midió el ángulo <M sobre le punto M.

3) Sobre el otro extremo del segmento se marca el segundo ángulo, de forma tal que el lado a trazar se corte con el lado trazado del otro ángulo. En este ejemplo se construyó el ángulo <N sobre el punto N.

4) El punto de intersección se nombra con la letra correspondiente al tercer vértice, en este caso, O. De esta forma se obtiene el triángulo MNO.

Trazado de Triángulos a partir de las medidas de dos lados y del ángulo comprendido entre ellos

Para trazar un triángulo conociendo las medidas de dos de sus lados y del ángulo comprendido  entre ellos, se traza un lado, y sobre uno de sus extremos se construye el ángulo. El otro lado del ángulo es el segundo lado.

Ejemplo

Trazar el triángulo ABC sabiendo que AB = 3,1cm, BC = 1,5cm y med(<A) = 40˚.

Procedimiento

1) Se traza la medida de uno de los lados. En este caso, se tomó AB = 3,1cm.

2) Sobre unos de los extremos del segmento trazado, se mide el ángulo conocido y se traza la semirrecta correspondiente, en este caso, se midió el ángulo 40˚ sobre el extremo A.

3) Desde el vértice donde se trazó la semirrecta del paso anterior, y sobre ella, se toma la medida del segundo lado del triángulo y se marca el punto C 

4) Se unen los puntos B y C con una línea recta y se obtiene el triángulo ABC.

Trazado de triángulo a partir de las medidas de sus tres lados

Para trazar triángulos a partir de las medidas de sus tres lados, se traza un segmento con la medida de un lado. Luego se traza dos arcos, uno en cada extremo del segmento trazados utilizando como abertura la medida de los otros dos.

Ejemplo:

Construir el triángulo ABC cuyos lados miden  a= 5cm, b= 1,9 cm y c= 3 cm

Procedimiento

1)  Se traza la medida de unos de los lados. se nombra los extremos del segmento dependiendo del lado seleccionado. En este caso se tomo el lado c= 3 cm cuyos extremos son los puntos A y B.

2) Se abre el compás con una abertura igual a uno de los dos lados restantes y, haciendo centro en A o en B, se traza un arco. Aquí, se tomó la medida del lado b = 1,9 cm y se hizo centro en A.

3) Se abre el compás con una abertura igual al tercer lado. Se hace centro en el otro vértice y ser traza otro arco. El punto de corte de los arcos trazados es el tercer vértice. En este ejemplo, se tomó el lado a = 2,1 cm, se hizo centro en B y se obtuvo  el punto C.

4) Se traza un segmento desde A hasta C y otro desde B hasta C. Se obtiene finalmente el triángulo ABC.

Utilizando solo regla y compas

Para trazar un polígono usando solo regla y compás se siguen pasos específicos para la construcción de rectas paralelas, perpendiculares y ángulos.

Ejemplo:

Trazar un hexágono regular usando solamente regla y compás.

Procedimiento

1. Se trazan dos rectas, L y m, que sean perpendiculares. Se ubica el punto A en la intersección de las rectas y luego el punto B en la recta m. La longitud del segmento AB es la medida del lado del hexágono.

2) Con un compás se toma la medida del segmento AB. Haciendo centro en A y luego en B, se trazan dos circunferencias con esa misma medida.

3) Se nombra O a uno de los puntos de intersección de las circunferencias trazadas. Luego con centro en O y con la misma abertura AB del compás, se traza otra circunferencia. Se nombra los puntos de intersección C,D y E.

 

4) Se traza una recta paralela a la recta L que pase por el punto B. El punto de intersección de la recta y la circunferencia de centro O se nombre F.  Finalmente se trazan AC, CE y EF, FD y DB para obtener el hexágono regular.